Définition :
Soit \((u_i)_{i\in I}\) une collection de nombres \(u_i\in{\Bbb R}\) indexée par un ensemble \(I\)
On dit que \((u_i)_{i\in I}\) est sommable si on a : $$\exists S\in{\Bbb R},\forall\varepsilon\gt 0,\exists A_\varepsilon\subset I,\qquad A\subset A_\varepsilon\implies\left|S-\sum_{i\in A}\right|\lt \varepsilon$$
Ce nombre \(S\) définit la somme de notre famille
On écrit $$S={{\sum_{i\in I}u_i}}$$
Familles sommables à termes positifs
Définition :
La famille (\(u_j\geqslant0\)) est sommable si et seulement si $${{\sum_ju_j}}={{\underset{A\text{ fini} }{\sup_{A\subset I} }\left(\sum_{j\in A} u_j\right)\lt +\infty}}$$
(Borne supérieure, Série convergente)
Familles sommables à termes quelconques
Définition :
La famille \((u_i)_{i\in I}\) est dite sommable si et seulement si $$\sum_i\lvert u_i\rvert\lt +\infty$$
Si $${{u_i^+}}={{\frac{u_i+\lvert u_i\rvert}{2}\geqslant0}}\quad\text{ et }\quad {{u_i^-}}={{\frac{\lvert u_i\rvert-u_i}{2}\geqslant0}}$$ alors $${{\sum_iu_i}}={{\sum_iu^+_i+\sum_iu^-_i}}$$
Si \(u_j\leqslant v_j\), alors $$\sum_j u_j\leqslant\sum_j v_j$$
Linéarité
Si \(\lambda\geqslant0\), alors $${{\sum_j(\lambda u_j+v_j)}}={{\lambda\sum_j u_j+\sum_j v_j}}$$
(Fonction linéaire)
Réunion disjointe d'éléments d'une famille sommable
Théorème :
Soit \((u_i)_{i\in I}\) une famille sommable
On suppose que l'on a une partition \(I=\coprod^{+\infty}_{n=0}I_n\) (réunion disjointe) avec \(I_n\subset I\) pour \(n\in{\Bbb N}\)
Alors :
